Dans la statistique publique, de nombreux modèles de prévision s’appuient sur des régressions linéaires. En effet, les producteurs appliquent des modèles RegARIMA pour la correction des effets de calendrier. Pour la prévision des grands agrégats macroéconomiques, le département de la conjoncture de l’Insee utilise notamment des étalonnages et le modèle Mésange s’appuie sur des modèles à correction d’erreur pour modéliser les comportements macroéconomiques. Ces méthodes fournissent généralement de bons résultats et ont l’avantage d’être facilement interprétables. Cependant, ils supposent que les relations entre les variables sont fixes dans le temps : cette hypothèse peut avoir du sens sur courte période mais n’est généralement plus vérifiée lorsque les modèles sont estimés sur longue période, ce qui conduit à des modèles sous-optimaux. L’objectif de cette étude est d’étudier différentes méthodes d’estimation de coefficients variant dans le temps dans le cadre de la prévision conjoncturelle. Ces méthodes se regroupent en trois catégories :
les modèles de régression par morceaux
les régressions locales
les modèles espace-état
Pour simplifier l’implémentation de ces méthodes, ainsi que leur comparaison, un package R a également été développé lors de cette étude. Les premiers résultats montrent que, lorsque l’hypothèse de constance des coefficients n’est pas vérifiée, l’utilisation de ces modèles (notamment la modélisation espace-état) permet de réduire les erreurs de prévision (en temps réel et dans l’échantillon). De plus, ils ont l’avantage d’être plus facilement interprétables que des méthodes de machine learning, puisqu’ils s’appuient sur des modèles de régression linéaire. L’atelier montrera comment mettre en application ces différentes méthodes, interpréter et comparer les résultats.
Mots clés : séries temporelles, tendance-cycle, désaisonnalisation, points de retournement.
Keywords: time series, trend-cycle, seasonal adjustment, turning points.
JEL Classification: E32, E37.
1 Introduction
Sur longue période, les institutions, les normes de sociétés ainsi que les comportements des agents économiques évoluent, induisant des changements dans la dynamique des séries économiques étudiées.
De nombreux modèles de l’Insee sont basés sur des régressions linéaires (CJO, prévisions, calage…) qui supposent que les relations entre les variables sont fixes dans le temps.
Hypothèse vraie sur le court-terme mais généralement fausse sur le long-terme ou en présence de changements structurels (changement de nomenclature, de définition, COVID…)
Objectifs :
étudier des méthodes qui permettent de relâcher cette contrainte ;
proposer une façon simple d’implémenter et de comparer ces méthodes (package tvCoef)
Pham et Quartier-la-Tente (2018) et Eurostat (2015)
2 Modélisation générale et tests
Dans cet article, nous nous placerons dans le cadre de la régression linéaire avec des variables à une dimension. À chaque date \(t\), la variable \(y_t\) (e.g. : taux de croissance du PIB) est expliquée par une combinaison linéaire de \(p\) variables explicatives, \(x_{0,t},\dots,x_{p,t}\) (soldes d’opinion, indices de production industrielle, indicatrices, etc.) : \[
y_t=\beta_{0}+\beta_{1} x_{1,t}+\dots+\beta_{p} x_{p,t} +\varepsilon_t
\] où \(\varepsilon_t\) représente l’erreur d’approximation. En notant \({\bf X}_t=\begin{pmatrix}1 \\ x_{1,t} \\\vdots \\ x_{p,t} \end{pmatrix}\) et \({\bf \beta}=\begin{pmatrix}\beta_0 \\ \beta_1 \\\vdots \\ \beta_p \end{pmatrix}\), cela s’écrit matriciellement : \[
y_t=\transp{\bf\beta} \bf X_t +\varepsilon_t.
\]
Dans le cadre de la régression linéaire, les coefficients \(\bf\beta\) sont supposés constants dans le temps et estimés en utilisant l’ensemble des données. Cela suppose donc que la relation économique entre les différentes variables est stable dans le temps. Même si cette hypothèse est généralement vraie sur le court-terme, elle peut être invalidée sur le long-terme du fait de changements structurels (mesures économiques, crises, changement de nomenclature, etc.) L’objectif de cet article est d’étudier différent modèles permettant de relâcher cette hypothèse de constance des coefficients. Le modèle général s’écrit donc : \[
y_t=\transp{\bf\beta_t} \bf X_t +\varepsilon_t.
\] Pour faciliter l’utilisation des modèles ici présentés, le package tvCoef(de Rosamel et Quartier-la-Tente 2024) a été développé pour cette étude.
Les différentes méthodes seront illustrées à travers l’exemple de la prévision du taux de croissance trimestriel du PIB à partir du climat des affaires France publié par l’Insee. Ces séries sont disponibles sous dans la base de donnée tvCoef::gdp :
growth_gdp correspond au taux de croissance trimestriel du PIB ;
bc_fr_m1 correspond au climat des affaires au premier mois de chaque trimestre (la valeur de 2000T1 correspond à la valeur de janvier 2000, celle de 2000T2 à celle d’avril 2000, etc.) ;
diff_bc_fr_m1 correspond à la différenciation trimestrielle de la variable précédente (la valeur de 2000T1 correspond à la différence du climat des affaires entre de janvier 2000 et octobre 1999).
Le modèle s’écrit donc : \[
\% PIB_t=\beta_0 + \beta_1\times climat\_fr_t^{m_1} + \beta_2\times \Delta climat\_fr_t^{m_1}+\varepsilon_t.
\]
Il est estimé en utilisant les données entre les années 1990 et 2019. Sous , ce modèle peut être estimé en utilisant la fonction stats::lm(). Toutefois, nous recommandons d’utiliser le package dynlm(Zeileis 2019) qui offre une plus grande flexibilité dans la définition des modèles et de conserver le format série temporelle dans les fonctions de tvCoef.
library(tvCoef)library(dynlm)model_gdp <-dynlm(formula = growth_gdp ~ bc_fr_m1 + diff_bc_fr_m1,data =window(gdp, start =1980, end =c(2019,4)))# # Equivalent à :# model_gdp <- dynlm(# formula = growth_gdp ~ bc_fr_m1 + diff(bc_fr_m1, 1),# # Date de début changée car on perd une donnée avec la différenciation# data = window(gdp, start = c(1989,4), end = c(2019,4))# )coefficients(model_gdp)
L’idée la plus simple pour tester s’il y a une rupture dans l’estimation des coefficients à une date \(t_1\), est d’estimer deux sous-modèles avant et après cette date :
\[
\begin{cases}
\forall t \leq t_1 :\quad PIB_t = \beta_0' + \beta_1' climat\_fr_t + \beta_2' \Delta climat\_fr_t + \varepsilon_t' \\
\forall t > t_1 :\quad PIB_t = \beta_0'' + \beta_1'' climat\_fr_t + \beta_2'' \Delta climat\_fr_t + \varepsilon_t''
\end{cases}
\] Il ne reste ensuite qu’à tester si les coefficients estimés entre les deux sous-périodes sont égaux : \(\beta_0' = \beta_0''\), \(\beta_1' = \beta_1''\) et \(\beta_2' = \beta_2''.\) C’est le principe du test de Chow (1960).
L’inconvénient est que cela suppose d’avoir un a priori sur la date de la rupture à tester. Pour palier à ce problème, Bai et Perron (2003) ont proposé un algorithme efficace afin de chercher la présence de ruptures multiples dans des modèles de régression linéaire. Cet algorithme a été implémenté sous dans le package strucchangeZeileis et al. (2003). La fonction strucchange::breakpoints() permet de chercher les ruptures et la fonction strucchange::breakdates() d’extraire facilement les dates associées. Le package tvCoef implémente une méthode breakpoints.lm() afin de pouvoir directement appliquer cette fonction aux régressions linéaires estimées :
Une seule rupture est détectée au 2000T2. Un intervalle de confiance autour de la date détectée peut être calculée peut en utilisant la fonction confint() :
breakdates(confint(bp))
2.5 % breakpoints 97.5 %
1 1996 2000.25 2004.75
L’incertitude autour de la date détectée est grande ! Il y a 95 % de chance que la rupture soit comprise entre 1996T1 et 2004T4.
Deux inconvénients :
choix de la date
supposent qu’il y a une rupture
2.2 Test de constance des coefficients
Alors que les tests précédents supposent qu’il existe une date de ru
Hansen (1992) Les tests classiques supposent qu’il existe une date de rupture, mais on veut parfois juste savoir si le coefficients est constant ou non.
Tests trouvés dans la littérature autour de Nyblom et Hansen -> Implémentation de Hansen (1992).
Idée : \[
f_{i,t} = \begin{cases}
x_{i,t}\hat \varepsilon_t &\text{ si }i\leq p\\
\hat \varepsilon_t^2 - \hat \sigma^2&\text{ si }i=p+1
\end{cases}
\text{ puis }S_{i,t} = \sum_{j=1}^tf_{i,j}\qquad(\text{N.B : }S_{i,n}=0)
\]
Test : \[
L_i=\frac{1}{nV_i}\sum_{t=1}^nS_{i,t}^2\qquad
\text{avec }V_i=\sum_{t=1}^nf_{i,t}^2
\]
Ce test est implémenté dans la fonction tvCoef::hansen_test(). Par défaut, le test joint ne comprend pas le test de constance de la variance (sigma = FALSE).
hansen_test(model_gdp)
L Stat Reject at 5%
(Intercept) 1.7847 0.47 TRUE
bc_fr_m1 1.8040 0.47 TRUE
diff_bc_fr_m1 0.1883 0.47 FALSE
Variance 0.1169 0.47 FALSE
Joint Lc 2.0730 1.47 TRUE
Sur notre modèle de prévision de la croissance, le test de Hansen conclut à la non-constance des coefficients associés à la constante et au climat des affaires en niveau au seuil de 5 %. En revanche, le coefficient associé au climat des affaires en différences serait constant (au seuil de 5 %).
La modélisation espace-état est une méthodologie générale permettant de traiter un grand nombre de problèmes de séries temporelles. Dans cette approche, on suppose que tout problème est déterminé par une série de vecteurs non observés \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) associés aux observations \(y_1,\dots,y_n\), la relation entre \(\alpha_t\) et \(y_t\) étant spécifiée par le modèle espace-état. Ces modèles sont largement décrits dans Durbin et Koopman (2012). Dans cet article, nous nous placerons dans un cadre simplifié des modèles linéaires gaussiens appliqués aux régressions linéaires. Les modèles sont déterminés par un ensemble de deux équations : \[
TODO
\] avec \(\alpha_t\) le vecteur d’états (state vector) de dimension \(p \times 1\).
La première équation est l’équation d’observation (observation equation) et la seconde l’équation d’état (state equation).
texte sur la variance des coefficients.
On retrouve le cas de la régression linéaire lorsque…
Ces modèles sont implémentés dans la fonction tvCoef::ssm_lm() qui prend en entrée un modèle de régression linéaire. L’implémentation est basée sur le package rjd3stsPalate (2023)
ssm_lm(model_gdp)
Mean of time-varying estimated coefficients (smoothing):
(Intercept) bc_fr_m1 diff_bc_fr_m1 noise
-1.6377 0.0208 0.0422 0.0000
Smoothing, filtering
ssm_lm(model_gdp)
Mean of time-varying estimated coefficients (smoothing):
(Intercept) bc_fr_m1 diff_bc_fr_m1 noise
-1.6377 0.0208 0.0422 0.0000
5.1 Autres modèles
6 Comparaison générale
6.1 Données utilisées
6.2 Résultats
tableau agrégé
7 Conclusion
8 Installation de tvCoef
Pour utiliser tvCoef, il faut il faut avoir la version 17 de Java SE (ou une version supérieure).
Pour savoir quelle version de Java est utilisée par R, utiliser le code suivant :
library(rJava)
Warning: le package 'rJava' a été compilé avec la version R 4.2.3
Si le résultat n’est pas sous la forme "17xxxx" c’est que vous n’avez pas Java 17 !
Si l’on a pas cette version d’installée et que l’on n’a pas les droits d’administrateur pour installer Java, une solution est d’installer une version portable de Java, par exemple installer une version portable à partir des liens suivants :
Pour installer une version portable de java, télécharger par exemple le fichier Windows 10 x64 Java Development Kit disponible sur https://jdk.java.net/java-se-ri/17, le dézipper et le mettre par exemple sous "".
Pour configurer R avec une version portable de Java, trois solutions :
Avant avant tout chargement de package nécessitant Java (rJava…) (si vous avez lancé le code précédent, relancez donc R) :
# Si la version portable est installée sous D:/Programmes/jdk-17Sys.setenv(JAVA_HOME='D:/Programmes/jdk-17')
Pour éviter de faire cette manipulation à chaque fois que l’on relance R, deux solutions :
modifier le .Renviron : depuis R lancer le code file.edit("~/.Renviron"), ajouter dans le fichier le chemin vers la version portable de Java comme précédemment (JAVA_HOME='D:/Programmes/jdk-17'), sauvegarder et relancer R.
Si vous utilisez un ordinateur professionnel, si c’est nécessaire,pensez à configurer le proxy pour que ces commandes puissent fonctionner (voir https://www.book.utilitr.org/01_r_insee/fiche-personnaliser-r#le-fichier-.renviron). Pour cela vous pouvez utiliser curl::ie_get_proxy_for_url() pour récupérer l’adresse du proxy et ajouter deux variable http_proxy et https_proxy dans les variables d’environnement (comme précédemment).
Les références
Bai, Jushan, et Pierre Perron. 2003. « Computation and analysis of multiple structural change models ». Journal of applied econometrics 18 (1): 1‑22.
Chow, Gregory C. 1960. « Tests of Equality Between Sets of Coefficients in Two Linear Regressions ». Econometrica 28 (3): 591‑605. http://www.jstor.org/stable/1910133.
de Rosamel, Claire, et Alain Quartier-la-Tente. 2024. tvCoef: Linear Time-Varying Coefficient Models. inseefrlab.github.io/tvCoef/.
Pham, Hien, et Alain Quartier-la-Tente. 2018. « Désaisonnaliser les séries très longues par sous-période, gains et choix de la longueur de traitement - exemple des séries de l’IPI ». XIIIèmes Journées de Méthodologie Statistique de l’Insee.
Zeileis, Achim, Christian Kleiber, Walter Krämer, et Kurt Hornik. 2003. « Testing and Dating of Structural Changes in Practice ». Computational Statistics & Data Analysis 44 (1–2): 109‑23. https://doi.org/10.1016/S0167-9473(03)00030-6.
Zhang, Xichuan (Mark), et Anna Poskitt. 2006. « An ARIMA model based approach to estimate evolving trading day effect ». Presented at the Joint Statistical Meeting.
Citation
BibTeX
@article{quartier-la-tente2024,
author = {Quartier-la-Tente, Alain},
title = {Utilisation de modèles de régression à coefficients variant
dans le temps pour la prévision conjoncturelle},
journal = {Document de travail méthodologique Insee},
date = {2024},
url = {https://github.com/InseeFrLab/DT-tvcoef},
langid = {fr}
}
Veuillez citer ce travail comme suit :
Quartier-la-Tente, Alain. 2024. “Utilisation de modèles de
régression à coefficients variant dans le temps pour la prévision
conjoncturelle.”Document de travail méthodologique
Insee. https://github.com/InseeFrLab/DT-tvcoef.